Black-Scholes-Modell: Formel, Annahmen und Rechenbeispiel

Das Black-Scholes-Modell ist die bekannteste Formel zur Bewertung von Optionen. Fischer Black und Myron Scholes veröffentlichten sie 1973 im Journal of Political Economy, Robert Merton lieferte im selben Jahr die mathematische Verallgemeinerung. 1997 erhielten Scholes und Merton dafür den Wirtschaftsnobelpreis, Black war bereits 1995 verstorben. Bis heute bildet das Modell die gemeinsame Sprache des Optionshandels: Händler nennen Preise oft nicht in Euro, sondern in impliziter Volatilität, die sich nur über Black-Scholes in einen Preis zurückrechnen lässt.

Die Grundidee

Der Kern des Modells ist ein Absicherungsargument. Wer eine Option verkauft und gleichzeitig eine passend bemessene Menge der Aktie hält, kann sein Risiko für kleine Kursbewegungen neutralisieren. Wird diese Absicherung laufend angepasst, ist das Gesamtportfolio risikolos und darf daher nur den risikofreien Zins verdienen. Aus dieser Bedingung folgt eine Differentialgleichung, deren Lösung für europäische Optionen die Black-Scholes-Formel ist.

Bemerkenswert ist, was in der Formel fehlt: die erwartete Rendite der Aktie. Ob ein Anleger optimistisch oder pessimistisch ist, spielt für den fairen Optionspreis keine Rolle, weil sich das Risiko durch die Absicherung eliminieren lässt.

Die Formel

Für eine europäische Call-Option ohne Dividenden lautet der Preis C:

C = S × N(d₁) − K × e^−rT × N(d₂)

Der Preis eines europäischen Puts P ergibt sich entsprechend:

P = K × e^−rT × N(−d₂) − S × N(−d₁)

Dabei gilt:

• d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2) × T] / (σ × √T)
• d₂ = d₁ − σ × √T
• S = aktueller Kurs des Basiswerts, K = Basispreis
• T = Restlaufzeit in Jahren, r = stetiger risikofreier Zins
• σ = Volatilität der Renditen pro Jahr
• N(·) = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

N(d₁) entspricht dem Delta des Calls, also der Preisänderung der Option bei einer Kursänderung des Basiswerts um eine Einheit. N(d₂) lässt sich als risikoneutrale Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass der Call am Ende im Geld liegt.

Die fünf Einflussgrößen

Vier der fünf Größen sind am Markt direkt beobachtbar. Nur die Volatilität für die künftige Laufzeit ist unbekannt. Deshalb dreht die Praxis die Formel häufig um: Aus dem gehandelten Optionspreis wird die Volatilität berechnet, die diesen Preis erklärt. Mehr dazu im Beitrag zur impliziten Volatilität.

Rechenbeispiel

Die fiktive Aktie der Rheintal Logistik notiert bei 63,40 Euro. Bewertet wird ein europäischer Call mit Basispreis 65 Euro und einer Restlaufzeit von einem halben Jahr (T = 0,5). Der risikofreie Zins beträgt 2,1 Prozent, die angenommene Volatilität 27 Prozent.

• ln(63,40 / 65) = −0,02492
• σ × √T = 0,27 × 0,7071 = 0,19092
• d₁ = (−0,02492 + (0,021 + 0,03645) × 0,5) / 0,19092 = 0,0199
• d₂ = 0,0199 − 0,19092 = −0,1710
• N(d₁) = 0,5079 und N(d₂) = 0,4321
• Abgezinster Basispreis: 65 × e^−0,0105 = 64,32 Euro
• C = 63,40 × 0,5079 − 64,32 × 0,4321 = 4,41 Euro

Die entsprechende Put-Option mit gleichen Daten kostet rechnerisch 5,33 Euro. Steigt die angenommene Volatilität von 27 auf 32 Prozent, verteuert sich der Call auf 5,30 Euro. Fünf Prozentpunkte mehr Schwankung machen die Option also rund 20 Prozent teurer. Klettert dagegen der Aktienkurs bei unveränderter Volatilität um 2 Euro auf 65,40 Euro, steigt der Callpreis auf 5,49 Euro, was grob dem Delta von etwa 0,51 entspricht.

Die Annahmen des Modells

Die Formel ist nur so gut wie ihre Voraussetzungen:

• Aktienkurse folgen einer geometrischen Brownschen Bewegung, die Renditen sind also normalverteilt und Kurse lognormalverteilt.
• Volatilität und Zins sind über die gesamte Laufzeit konstant.
• Es gibt keine Transaktionskosten und keine Steuern, Leerverkäufe sind unbegrenzt möglich.
• Der Handel ist kontinuierlich, Kurse springen nicht.
• Die Option ist europäisch, kann also nur am Laufzeitende ausgeübt werden.
• In der Grundform werden keine Dividenden gezahlt.

Für Dividenden gibt es eine einfache Erweiterung: Bei einer stetigen Dividendenrendite q wird S durch S × e^−qT ersetzt. Für Optionen auf Futures nutzt die Praxis die Variante von Fischer Black aus dem Jahr 1976.

Bedeutung für Anleger

Auch wer selbst keine Optionen bewertet, begegnet dem Modell ständig. Die Kennzahlen Delta, Gamma, Vega und Theta, die Broker in ihren Optionsketten anzeigen, stammen in der Regel aus Black-Scholes oder verwandten Modellen. Market Maker stellen ihre Quotes auf dieser Grundlage. Für Privatanleger, die Optionen handeln, ist das Modell vor allem ein Werkzeug, um einzuschätzen, ob eine Prämie im Verhältnis zur erwarteten Schwankung teuer oder günstig ist. Es zeigt außerdem, warum eine Call-Option auch bei unverändertem Aktienkurs an Wert verlieren kann: Mit jedem Tag sinkt T und damit der Zeitwert.

Grenzen und Kritik

• Fette Ränder: Große Kursbewegungen treten deutlich häufiger auf, als die Normalverteilung vorhersagt. Optionen weit aus dem Geld werden vom Modell daher tendenziell zu billig bewertet.
• Volatility Smile: Würde das Modell exakt stimmen, hätten alle Optionen auf denselben Basiswert dieselbe implizite Volatilität. Am Markt ist das nicht so, die Werte unterscheiden sich je nach Basispreis und Laufzeit.
• Sprünge und Lücken: Kurslücken nach Quartalszahlen oder über das Wochenende lassen sich nicht kontinuierlich absichern.
• Amerikanische Optionen: Für Optionen mit vorzeitigem Ausübungsrecht, wie die meisten Aktienoptionen an der Eurex, verwenden Börsen und Händler Binomialmodelle oder numerische Verfahren.
• Unbekannte Volatilität: Das Ergebnis reagiert stark auf σ, ausgerechnet die Größe, die niemand sicher kennt.

Fazit

Das Black-Scholes-Modell liefert mit fünf Eingaben einen theoretischen Optionspreis und hat den modernen Derivatehandel erst möglich gemacht. Seine Annahmen sind vereinfachend, doch als Referenzrahmen und zur Berechnung der Griechen ist es unverzichtbar. Wer Optionen nutzt, sollte vor allem verstehen, wie stark der Preis von der Volatilität abhängt und wo die Formel an ihre Grenzen stößt.

Fragen und Antworten

Wofür steht N(d₁) in der Black-Scholes-Formel?

N(d₁) ist das Delta eines Calls. Es gibt an, um wie viel sich der Optionspreis ungefähr ändert, wenn der Basiswert um einen Euro steigt.

Gilt Black-Scholes auch für amerikanische Optionen?

Für amerikanische Calls auf Aktien ohne Dividende liefert die Formel denselben Preis. In anderen Fällen, etwa bei Puts oder Dividendenzahlungen, sind Binomialmodelle oder numerische Verfahren genauer.

Warum spielt die erwartete Rendite keine Rolle?

Weil sich die Option durch eine laufend angepasste Aktienposition nachbilden lässt. Der Preis ergibt sich aus den Kosten dieser Absicherung, nicht aus der Kurserwartung.

Welche Größe ist im Modell am schwierigsten zu bestimmen?

Die Volatilität. Alle übrigen Eingaben sind am Markt ablesbar, die künftige Schwankung dagegen muss geschätzt oder aus Optionspreisen abgeleitet werden.

Quellen

• Black, F./Scholes, M. (1973): The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy
• Nobelprize.org: Wirtschaftsnobelpreis 1997, Pressemitteilung
• OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options
• Eurex: Equity Options

Dieser Beitrag dient der Information und ist keine Anlageberatung. Stand: November 2026.